Система счисления


Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы... Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.



Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.


Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.


В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;


Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:


  • унарная система;
  • непозиционная система;
  • позиционная система.

Унарная система


В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.


Чем больше зарубок - тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.


Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!


Непозиционная система счисления


Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.


Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.


В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.


Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:


I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.


Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:


IV = 4, в то время как:
VI = 6


Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.



Позиционная система счисления


В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.


Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.


Алфавитом десятичной системы являются цифры от 0 до 9. Образование чисел в ней происходит следующим образом: значения цифр умножаются на их «веса» соответствующих разрядов, а затем все полученные значения складываются.


Числительными русского языка, такое значением хорошо отражается, к примеру: «пять-сот семь-десят два».


Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1,...,q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.


Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.



Представление числа в позиционной системе счисления


В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):


Aq=±(an−1⋅qn−1+an−2⋅qn−2+...+a0⋅q0+a−1⋅q−1+...+a−m⋅q−m).

где:


А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:


±an−1an−2...a1a0...a−m

в качестве примера, возьмём десятичное число 21466,12. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме мы переходим сразу к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и суммируя все полученные перемножения:


2⋅104+1⋅103+4⋅102+6⋅101+6⋅100+1⋅10−1+2⋅10−2.

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток - она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.


Кодирование информации Двоичная система счисления